Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2011 Soru 07

[Egemen]

$1^4 + 2^4 + \dots + 2011^4$ sayısının $16$ ile bölümünden kalan nedir?

$\textbf{a)}\ 14 \qquad\textbf{b)}\ 11 \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 2\ $

[Eray]

Yanıt: $\boxed{A}$

$2k$ gibi bi çift sayının $4.$ kuvveti olan $16k^4$ sayısı $16$'ya bölünür.

$2k+1$ gibi bir tek sayının $4.$ kuvveti, $(2k+1)^4=16k^4+32k^3+24k^2+8k+1\equiv8k^2+8k+1\pmod{16}$

Dizideki son tek sayı olan $2011=2\cdot1005+1$ olduğundan, aradığımız sayı:

$\sum \limits_{k=1}^{1005} 8k^2+8k+1=\sum \limits_{k=1}^{1005}8k^2+\sum \limits_{k=1}^{1005}8k+1005=8\cdot\dfrac{1005\cdot1006\cdot2011}{6}+8\cdot\dfrac{1005\cdot1006}{2}+1005\equiv14\pmod{16}$ bulunur.

[Egemen]

$(2k+1)^4=16k^4+32k^3+24k^2+8k+1\equiv8k^2+8k+1\pmod{16}$

Dizideki son tek sayı olan $2011=2\cdot1005+1$ olduğundan, aradığımız sayı:

$\sum \limits_{k=1}^{1005} 8k^2+8k+1=\sum \limits_{k=1}^{1005}8k^2+\sum \limits_{k=1}^{1005}8k+1005=8\cdot\dfrac{1005\cdot1006\cdot2011}{6}+8\cdot\dfrac{1005\cdot1006}{2}+1005\equiv14\pmod{16}$ bulunur.

Bu kısmı,
 $8k^2+8k+1\equiv 8k(k+1)+1\equiv 1\pmod{16}$
olarak kısaltırsak. Her tek terimin 1 kalanı verdiğini görürüz.

[Eray]

Evet hocam onu görmek yaptığım işlemleri baya kısaltıyor