Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2011 Soru 05

[Egemen]

$\{50,100,1000,2000,2010,2011,2012,3000\}$ kümesinin üç elemanlı kaç altkümesinin elemanları toplamı $3$ ile bölünür?

$\textbf{a)}\ 30 \qquad\textbf{b)}\ 27 \qquad\textbf{c)}\ 24 \qquad\textbf{d)}\ 20 \qquad\textbf{e)}\ 18\ $

[Egemen]

Yanıt: $\boxed D$

$100\equiv 1000\equiv 2011 \equiv 1 \pmod 3$
$50\equiv 2000\equiv 2012 \equiv 2 \pmod 3$
$2010\equiv 3000\equiv 0 \pmod 3$
Üç elemanlı altkümenin $3$'e bölünebilmesi için sayıların mod3'te $(0,0,0), (1,1,1), (2,2,2), (0,1,2)$ veren sayılar olması lazımdır.
$(0,0,0)$; Elimizde $3k$ formunda 2 sayı olduğu için koşula uygun 0 altküme vardır.
$(1,1,1)$; Elimizde $3k+1$ formunda 3 sayı olduğu için koşula uygun 1 altküme vardır.
$(2,2,2)$; Elimizde $3k+2$ formunda 3 sayı olduğu için koşula uygun 1 altküme vardır.
$(0,1,2)$; $3k$ formunda 2, $3k+1$ formunda 3, $3k+2$ formunda 3 sayı olduğu için 18 altküme vardır.