Eşkenar üçgenin çevrel çemberi üzerinde bir nokta

[geo]

$ABC$ eşkenar üçgeninin çevrel çemberinin $AC$ küçük yayı üzerinde $CP=4$ olacak şekilde bir $P$ noktası alınıyor. $A$ dan $BP$ ye inilen dikmenin ayağının $P$ ye uzaklığı $3$ ise $\text{Alan}(ABC)$ nedir?

[Eray]

$A$'den $BP$'ye inilen dikmenin ayağı $D$ olsun. $AP$'yi birleştirelim. Aynı yayı gören çevre açılar olduklarından, $\angle BCA=\angle BPA=60^\circ$ ve $\angle BAC=\angle BPC=60^\circ$'dir.
$ADP$ üçgeninin açıları $30^\circ-60^\circ-90^\circ$'dir ve $30^\circ$'nin karşısı olan $|DP|=3$ ise $90^\circ$'nin karşısı olan $|AP|=6$'dır.
$APC$ üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanırsa, $|AC|^2=6^2+4^2-2\cdot6\cdot4\cdot\cos120=76$ bulunur. Yani $ABC$ eşkenar üçgeninin bir kenarının uzunluğu $\sqrt{76}$'dır. Alanı ise $\dfrac{\sqrt{76}^2\cdot\sqrt3}{4}=19\sqrt3$'tür.