Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2012 Soru 18

[Egemen]

.Bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ kenarına $D$ noktasında, $AC$ doğrusuna da $A$ noktasında teğet olan bir çember $[AB]$ kenarını $E$ noktasında kesiyor. $|BD|/|AC| = 2$ ve $|AE|/|BD| = 5/6$ ise, $AD$ ve $CE$ doğrularının kesişim noktası $F$ için, $|AF|/|FD|$ nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{5}{2}\qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt3 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{16}{5} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{15}{4}$

[Eray]

Yanıt: $\boxed{E}$

$|BD|/|AC|=2$ ve $|AE|/|BD|=5/6$ ise $|BD|=6a, |AC|=3a, |AE|=5a$ diyebiliriz. Bir noktadan çembere çizilen teğetlerin uzunlukları aynı olacağından $|CD|=|CA|=3a$'dır.
$D$ noktasının çembere göre kuvvetleri eşitlenirse, $|BD|^2=|BE|\cdot|BA| \Longrightarrow 36a^2=|BD|\cdot\left(|BD|+5a\right) \Longrightarrow \left(|BD|+9a\right)\cdot\left(|BD|-4a\right)=0 \Longrightarrow |BD|=4a$ bulunur.
Menaleus Teoremi'nden, $\dfrac{|CD|}{|CB|}\cdot\dfrac{|BE|}{|EA|}\cdot\dfrac{|AF|}{|FD|}=1 \Longrightarrow \dfrac{3a}{9a}\cdot\dfrac{4a}{5a}\cdot\dfrac{|AF|}{|FD|}=1 \Longrightarrow \dfrac{|AF|}{|FD|}=\dfrac{15}{4}$ bulunur.