Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2012 Soru 10

[Egemen]

$\sqrt {n+9-6\sqrt n}+\sqrt {n+25-10\sqrt n} = 2$ denklemini sağlayan $n$ tam sayılarının toplamı nedir?

$\textbf{a)}\ 228\qquad \textbf{b)}\ 231\qquad \textbf{c)}\ 242\qquad \textbf{d)}\ 255\qquad \textbf{e)}\ 289\qquad$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Yanıt: $\boxed{E}$

$\sqrt{n+9-6\sqrt{n}}=\sqrt{n+9-2\sqrt{9n}}=|\sqrt{n}-3|$   ve  $\sqrt {n+25-10\sqrt n}=\sqrt {n+25-2\sqrt{25n}}=|\sqrt{n} -5|$ tir. Yani $|\sqrt{n} -3|+|\sqrt{n} -5|=2$ dir.
$3\leq\sqrt{n}\leq 5$ ise $2=2$ olur. Yani bu aralıktaki her $n$ tamsayısı için sağlanır. Yani $n$, $9$ dan $25$ e kadar olan bütün değerleri alabilir. Cevap $=\dfrac{34.17}{2}=289$ dur.