Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2012 Soru 09

[Egemen]

$s(\widehat{BAC})=90^\circ$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[AC]$ kenarına ait bir $D$ noktası için, $BD$ doğrusu ile $[AH]$ yüksekliği $E$ noktasında kesişiyor. $|BH| = 3$, $|CH| = 12$ ve $|EH| = 2|EA|$ ise, $|DE|$ nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{32}{19} \qquad\textbf{b)}\dfrac{30}{17} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{23}{13} \qquad\textbf{d)}\ 2\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{20}{11}$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Yanıt: $\boxed{E}$

$ABC$ üçgeninde Öklid uygulanırsa $|AH|=6$ ve dolayısıyla $|AE|=2$ ve $|EH|=4$ bulunur. $H$ tan $BD$ ye paralel çizelim. $|AC|$ yi $G$ de kessin. $|HG|=12x$ olsun. Benzerlikten $|BD|=15x$ olacaktır. Yine benzerlikten $|ED|=4x$ ve $|BE|=11x$ olacaktır. $BHE$ üçgeninde pisagordan $|BE|=5$ olacağı için $11x=5$ ve $x=\dfrac{5}{11}$ bulunur. Sonuç olarak $|DE|=4x=\dfrac{20}{11}$ olur.