Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2012 Soru 08

[Egemen]

Tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin on tabanına göre yazılımının son iki basamağı aynı olan kaç tane iki basamaklı sayı vardır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[ERhan ERdoğan]

$AB$ iki basamaklı bir sayı olmak üzere; ilk iki kuvvetin isteneni sağlaması yeterlidir.

$AB \equiv AB \pmod{100}$

$AB^2 \equiv AB \pmod{100}$

$(10A+B)^2 \equiv AB \pmod{100}$

$100A^2 + 20AB + B^2 \equiv 10A+B \pmod{100}$

$10A(2B-1) + B(B-1) \equiv 0 \pmod{100}$

$A=2,B=5$  ve $A=7,B=6$ değerleri için denkliğin sağlandığını görebiliriz.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Yanıt: $\boxed{C}$

$XY$ iki basamaklı bir sayı olsun. $XY \equiv {(XY)^2} \equiv \cdots \equiv {(XY)^n}\pmod {100}$ olması için $XY \equiv {(XY)^2}\pmod {100}$ olması yeterlidir. Tamkare bir sayının son basamağı $0,1,4,5,6,9$ olabilir. Ama sonu $4$ ile biten bir sayının karesinin son basamağı $6$ dır. Bu yüzden $4$ ü atıyoruz. Aynı şekilde sonu $9$ ile biten bir sayının karesinin son basamağı $1$ dir. Bu yüzden $9$ u da atıyoruz. Sonu $0$ la biten bir sayının karesinin son iki basamağı $0$ dır. Ama iki basamaklı $00$ sayısı olmadığı için $0$ ı da atıyoruz. Geriye $1,5,6$ kaldı. Şimdi ilk yazdığımız denklemi açalım:
$\Longrightarrow (10X+Y)^2\equiv 10X+Y \pmod {100}$
$\Longrightarrow (100X^2+20XY+Y^2)\equiv 10X+Y \pmod {100}$ ,($100X^2  ,0$ verdiğinden artık yazmıyoruz.)
$\Longrightarrow 20XY-10X+Y^2-Y\equiv 10X(2Y-1)+Y(Y-1) \equiv 0\pmod {100}$ olur.
 Şimdi $Y$ yerine $1,5,6$ yazalım:
$Y=1$ ise $10X \equiv 0\pmod {100}$ olur. $X=10$ veya $X=0$ olamayacağı için çözüm yoktur.
$Y=5$ ise $90X \equiv {80}\pmod {100}$ olur. $X=2$ için çözüm vardır. Gerçekten de $(25)^2=625$ tir.
$Y=6$ ise $10X \equiv {70}\pmod {100}$ olur. $X=7$ için çözüm vardır. Gerçekten de $(76)^2=5776$ dır.

O zaman $25$ ve$76$ olmak üzere iki tane iki basamaklı sayı vardır.

[Eray]

Yanıt: $\boxed{C}$

Basamak çözümlemeden de sonuca gidebiliriz.
$x$ iki basamaklı sayısı için $x\equiv x^2\equiv\cdots\equiv x^n\pmod{100}$ olması için $x\equiv x^2\pmod{100}$ olmalıdır.
$\Longrightarrow x^2-x\equiv0\pmod{100}$
$\Longrightarrow x(x-1)\equiv0\pmod4$ ve $x(x-1)\equiv0\pmod{25}$ olmalıdır.

$x(x-1)$ ifadesinin $4$'e bölünmesi için ya iki çarpandan biri $4$'e bölünmeli, ya da iki çarpan aynı anda $2$'ye bölünmelidir. Ancak $x$ ve $x-1$ sayıları aralarında asal olduğundan ikisi aynı anda $2$'ye bölünemez. Dolayısıyla ya $x\equiv0\pmod4$ ya da $x\equiv1\pmod4$'tür.

Aynı durum $x(x-1)$ ifadesinin $25$'e bölünmesi için de geçerli olduğundan ya $x\equiv0\pmod{25}$ ya da $x\equiv1\pmod{25}$'tir.

O halde $4$ adet durum söz konusudur. Tablodan görülebilir:

$\begin{array}{c|c|c|} x & \mod4 & \mod{25}\\ \hline \color{red}{1.} & 0 & 0\\ \hline \color{red}{2.} & 0 & 1\\ \hline \color{red}{3.} & 1 & 0\\ \hline \color{red}{4.} & 1 & 1\\ \hline \end{array}$

$\color{red}{1.} \Longrightarrow x\equiv0\pmod{100} \Longrightarrow x$ iki basamaklı sayı olamaz.
$\color{red}{2.} \Longrightarrow x\equiv76\pmod{100} \Longrightarrow x=76$
$\color{red}{3.} \Longrightarrow x\equiv25\pmod{100} \Longrightarrow x=25$
$\color{red}{4.} \Longrightarrow x\equiv1\pmod{100} \Longrightarrow x$ iki basamaklı sayı olamaz.

O halde şartı sağlayan $25$ ve $76$ olmak üzere $2$ tane iki basamaklı sayı vardır.