Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2012 Soru 04

[Egemen]

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ rakamlarının her birini bir kez kullanarak $11$ ile bölünen yedi basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?

$\textbf{a)}\ 720\qquad \textbf{b)}\ 576\qquad \textbf{c)}\ 432\qquad \textbf{d)}\ 288\qquad \textbf{e)}\ 144\qquad$

[Egemen]

Yanıt:$\boxed B$

$abcdefg$ sayımız olsun. $11$ ile bölünme kuralı gereği $a+c+e+g-(b+d+f)=11k$ $k$ $1$, $-1$ veya $0$'dır.
$k=0 \Rightarrow b+d+f=14$ $(b,d,f)$ $(7,6,1),(7,5,2),(7,4,3),(6,5,3)$'ün permütasyonları olabilir.
$4!.3!.4=576$ sayı vardır.
$k=1 \Rightarrow b+d+f=\dfrac{17}{2}$'dir ve b,d,f tam sayı olduğu için sayı yoktur.
$k=-1 \Rightarrow b+d+f=\dfrac{39}{2}$'dir ve b,d,f tam sayı olduğu için sayı yoktur.

[ERhan ERdoğan]

$ABCDEFG$  yedi basamaklı sayısında  $A+C+E+G = B+D+F$  olmalıdır. $1+2+3+4+5+6+7 = 28$ olduğundan
grupların değerleri $14$ olur.

Buna göre ;

$7+6+1 = 2+3+4+5$

$7+5+2 = 1+3+4+6$

$7+4+3 = 1+2+5+6$

$6+5+3 = 1+2+4+7$

şeklinde $4$ farklı gruplama vardır.Mevcut sayıların adedi : $4.(3!.4!) = 576$