Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1983 Soru 6

[ERhan ERdoğan]

$a,b,c$ bir üçgenin kenar uzunlukları olsun. $$a^2b(a-b)+ b^2c(b-c)+c^2a(c-a) \geq 0$$ olduğunu gösteriniz. Eşitliğin ne zaman sağlandığını belirtiniz.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

$a \ge b \ge c$ olsun. O zaman $\dfrac{1}{a} \le \dfrac{1}{b} \le \dfrac{1}{c}$ dir. Ve aynı zamanda $a(b+c-a) \le b(a+c-b) \le c(a+b-c)$ dir.
Şimdi bu iki sıralamaya yeniden düzenleme eşitsizliği uygulayalım.

$\dfrac{1}{c}.c(a+b-c)+\dfrac{1}{b}.b(a+c-b)+\dfrac{1}{a}.a(b+c-a)  \ge  \dfrac{1}{b}.c(a+b-c)+\dfrac{1}{a}.b(a+c-b)+\dfrac{1}{c}.a(b+c-a)$

Düzenlersek ;

$\Longrightarrow  a+b+c \ge a+b+c+\dfrac{ab-a^2}{c}+\dfrac{bc-b^2}{a}+\dfrac{ac-c^2}{b}$

$\Longrightarrow  0 \ge \dfrac{a(b-a)}{c}+\dfrac{c(a-c)}{b}+\dfrac{b(c-b)}{a}$

Bu eşitsizliği $abc$ ile çarparsak $a^2b(a-b)+c^2a(c-a)+b^2c(b-c) \ge 0$ ispatlanır.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirilmiş IMO 1983 #6