Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1987 Soru 1

[ERhan ERdoğan]

$\{1,2, \dots, n\}$ $(n\geq 1)$ kümesinin sabit noktalarının sayısı tam olarak $k$'ya eşit olan permütasyonlarının sayısı $p_n(k)$ olsun. $$\sum\limits_{k=0}^n k\cdot p_n(k) = n!$$ olduğunu gösteriniz.
(Not: Bir $S\neq \emptyset$ kümesinden kendi üzerine tanımlı ve bire-bir olan bir $f$ fonksiyonuna $S$'nin bir permütasyonu denir. $S$'nin bir $i$ elemanı için $f(i)=i$ ise $i$ $f$'nin bir sabit noktasıdır denir.)