Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1989 Soru 3

[ERhan ERdoğan]

$n$ ve $k$ pozitif tam sayılar olsun. $S$ bir düzlem üzerinde bulunan ve aşağıdaki iki koşula uyan $n$ tane noktanın oluşturduğu küme olsun.

• $S$'deki herhangi üç nokta aynı doğru üzerinde değildir,
• $S$'nin her bir $P$ noktası için, bu $P$ noktasına olan uzaklıkları aynı olan ve $S$'de bulunan en az $k$ tane nokta vardır.

Bu koşullar altında $$k < \dfrac 12 + \sqrt {2n}$$ olduğunu ispatlayınız.