Gönderen Konu: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2001 Soru 6  (Okunma sayısı 1459 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1408
  • Karma: +12/-0
Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2001 Soru 6
« : Haziran 05, 2014, 09:14:53 ös »
$a,b,c,d$ tam sayıları $a>b>c>d>0$ eşitsizliğini sağlasın. $$ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)$$ ise, $ab+cd$ nin asal olmadığını kanıtlayınız.

Çevrimdışı Buğra Doğan

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 21
  • Karma: +1/-0
Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2001 Soru 6
« Yanıtla #1 : Temmuz 23, 2015, 05:40:44 ös »
Benim çözümüm şu şekilde;
 
a,b,c,d tam sayıları a>b>c>d>0 eşitsizliğini sağlasın deniyor. Verilen eşitlik sonucunda da ab+cd nin asal olmadığını kanıtlamamız gerek.

x,y,m pozitif tamsayı ve y>x>0 , m>x>0 olmak üzere;

a=m+y, b=m+x, c=m, d=m-x olsun. (a,b,c,d tam sayıları a>b>c>d>0 eşitsizliğini sağlar.)

ac+bd=(b+d+a−c)(b+d−a+c) eşitliğinde ifadelerimizi yerine koyarsak;

→ m2+ym+m2-x2=(2m+m+y-m)(2m-m-y+m)
→ 2m2+ym-x2=4m2-y2
→ ym-x2=2m2-y2
→ y2+ym-2m2=x2
→ (y+2m)(y-m)=x2   
     
eşitliği elimizde bir dursun..

ab+cd'nin asal olmadığını kanıtlamamız isteniyor. ab+cd'yi de düzenlersek;

ab+cd=m2+mx+my+xy+m2-mx
ab+cd=2m2+my+xy
ab+cd=m(y+2m)+xy şeklinde yazılabilir. Asal olmaması için bu ifadenin çarpanlara ayrılması ve birden farklı en az iki çarpanı bulunmalıdır. İlk eşitliğimizden de yararlanarak bunu gösterebilmemiz gerek;

(y+2m)(y-m)=x2
Her iki tarafında karekökünü alalım;
(y+2m)1/2(y-m)1/2=x

Şimdi bu x değerinin bizden asal olmamasını göstermemiz istenen değerdeki x yerine koyarsak ifademiz şu şekle dönüşür;
İfademiz ; m(y+2m)+xy     
Sonrasında ; (m)(y+2m)+(y+2m)1/2(y-m)1/2(y)

İşimizi kolaylaştırması bakımından ifademizi tek bir bilinmeyen üzerinden kuralım bunun içinde y=m+1 şeklinde yazalım. Bu şekilde yada daha farklı şekillerde yazabiliriz çünkü çözümümüzün en başında da gördüğümüz üzere y ile m birbirinden bağımsız şekildedir.(Büyüklük-küçüklük ilişkisi) İfademizi tekrar düzenleyelim;

(3m+1)1/2[(m)(3m+1)1/2+(m+1)] haline geldi. İfademizdeki (3m+1)1/2 içeri dağıtıldığında sonucun ab+cd'den dolayı tamsayı olması gerekir. (a,b,c,d tamsayıdır çünkü) O nedenle de (3m+1)1/2 ifadesi tam sayı olmalıdır. Çözümümüzün en başında koyduğumuz büyüklük-küçüklük ilişkisi yüzünden gördüğümüz üzere m=0 olamayacağından bu çarpan 1 den farklıdır ve içerisi de 1 den farklıdır. Yani birden farklı iki çarpana ayrılabilen bir ifadedir ve asal olmadığı görülür.
Çözüm yolum yanlış olabilir, hatalarım olabilir, varsa uyarırsanız sevinirim.
 
« Son Düzenleme: Nisan 23, 2016, 02:35:23 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal