Gönderen Konu: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2001 Soru 2  (Okunma sayısı 1616 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1408
  • Karma: +12/-0
Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2001 Soru 2
« : Haziran 05, 2014, 09:10:06 ös »
Her pozitif gerçel $a,b,c$ sayıları için
$$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \geq 1$$ olduğunu kanıtlayınız.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1708
  • Karma: +8/-0
Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2001 Soru 2
« Yanıtla #1 : Haziran 14, 2015, 09:10:10 ös »
$$\dfrac{a}{\sqrt{a^2 + 8bc}} \geq \dfrac{a^{\frac 43}}{a^{\frac 43} + b^{\frac 43} + c^{\frac 43}}$$ olduğunu ya da eşdeğer olarak $$\left ( a^{\frac 43} + b^{\frac 43} + c^{\frac 43} \right )^2 \ge a^{\frac 23} (a^2 + 8bc)$$ olduğunu göstereceğiz.
$AO-GO$ eşitsizliğinden $$\begin{array}{rcl}
\left( a^{\frac 43} + b^{\frac 43} + c^{\frac 43} \right )^2 - \left ( a^{\frac 43} \right )^2 &=& \left ( b^{\frac 43} + c^{\frac 43} \right ) \left ( a^{\frac 43} + a^{\frac 43}  + b^{\frac 43} + c^{\frac 43} \right ) \\
&\ge& 2b^{\frac 23}c^{\frac 23}\cdot 4a^{\frac 23}b^{\frac 13}c^{\frac 13} \\
&=& 8a^{\frac 23}bc
\end{array}$$ elde edilir. Bu durumda $$\begin{array}{rcl}
\left( a^{\frac 43} + b^{\frac 43} + c^{\frac 43} \right )^2 &\ge& \left ( a^{\frac 43} \right )^2  + 8a^{\frac 23}bc \\
&=& a^{\frac 23}(a^2 + 8bc)
\end{array}$$, yani $$\dfrac{a}{\sqrt{a^2 + 8bc}} \geq \dfrac{a^{\frac 43}}{a^{\frac 43} + b^{\frac 43} + c^{\frac 43}}$$ olur. Benzer şekilde $$ \begin{array}{rcl} \dfrac{b}{\sqrt{b^2 + 8ca}} &\geq& \dfrac{b^{\frac 43}}{a^{\frac 43} + b^{\frac 43} + c^{\frac 43}} \quad \text{ve} \\
\dfrac{c}{\sqrt{c^2 + 8ab}} &\geq& \dfrac{c^{\frac 43}}{a^{\frac 43} + b^{\frac 43} + c^{\frac 43}}
\end{array}$$ elde ederiz. Oluşan üç eşitsizliği taraf tarafa topladığımızda $$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \geq 1$$ elde ederiz.

Kaynak:
IMO Shortlist 2001


« Son Düzenleme: Haziran 16, 2015, 08:05:24 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı MATSEVER 27

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 738
  • Karma: +10/-6
Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2001 Soru 2
« Yanıtla #2 : Kasım 22, 2015, 04:26:23 ös »
İlk baştaki ifadeye $S$ diyelim. Hölder Eşitsizliğinden $(S)$.$(S)$.$((a^3+8abc)+(b^3+8abc)+(c^3+8abc))$ $\ge$ $(a+b+c)^3$ idir. Biz $S$ $\ge$ $1$ göstermek istiyoruz. Eğer biz $(a+b+c)^3$ $\ge$ $((a^3+8abc)+(b^3+8abc)+(c^3+8abc))$  gösterirsek ispat biter. $(a+b+c)^3$ $\ge$ $a^3+b^3+c^3+24abc$ gösterirsek ispat biter. İfadeyi açarsak;

$a^3 + b^3 + c^3 + 6abc + 3(a^2b + a^2c + b^2c) + 3(ab^2 + ac^2 + bc^2)$ $\ge$ $a^3+b^3+c^3+24abc$ göstermemiz yani;

$(a^2b + a^2c + b^2c)$ $+$ $(ab^2 + ac^2 + bc^2)$ $\ge$ $6abc$ göstermemiz yeterlidir. Bunu da $A.G.O$ eşitsizliğinden kolayca elde edebiliriz.
« Son Düzenleme: Nisan 23, 2016, 02:35:03 ös Gönderen: geo »
Vatan uğrunda ölen varsa vatandır.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal