Gönderen Konu: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2005 Soru 3  (Okunma sayısı 1345 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1409
  • Karma: +12/-0
Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2005 Soru 3
« : Haziran 05, 2014, 08:50:59 ös »
$x,y,z$ pozitif gerçel sayıları için $xyz\geq 1$ olmak üzere;
$$\dfrac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\dfrac{y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2}+\dfrac{z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5} \geq 0$$ olduğunu kanıtlayınız.

Çevrimdışı MATSEVER 27

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 738
  • Karma: +10/-6
Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2005 Soru 3
« Yanıtla #1 : Şubat 29, 2016, 10:39:34 ös »
Bu eşitsizlik;
$$\frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^5+z^2+x^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{z^5+x^2+y^2} \le 3$$
ile özdeştir. Bunu ispatlayalım. Cauchy-Schwarz'dan;
$$(x^5+y^2+z^2)(yz+y^2+z^2) \ge (x^{\frac{5}{2}}(yz)^{\frac{1}{2}}+y^2+z^2)^2 \ge (x^2+y^2+z^2)^2$$
biliyoruz. O halde benzer şekilde yapılıp toplanırsa;
$$\frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^5+z^2+x^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{z^5+x^2+y^2} \le 2+\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2} \le 3$$
olduğundan doğrudur. İspat biter.
« Son Düzenleme: Nisan 23, 2016, 02:35:35 ös Gönderen: geo »
Vatan uğrunda ölen varsa vatandır.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal