Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2013 Soru 29

[Lokman Gökçe]

$ |x| \leq 1$, $|y| \leq 1$ ve $x+2y=1$ koşullarını sağlayan $x$ ve $y$ gerçel sayıları için, $\sqrt{24(1-x^2)}+\sqrt{21(1-y^2)}$ ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?
$
\textbf{a)}\ \dfrac83\sqrt3+\dfrac23\sqrt{42}
\qquad\textbf{b)}\ 2\sqrt6+\dfrac32\sqrt{7}
\qquad\textbf{c)}\ 9
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{35}{4}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[mustafaemir]

$\sqrt{24(1-x^2)}+\sqrt{21(1-y^2)}=S$ olsun
C.S. dan $(24+21)((1-x^2)+(1-y^2))\ge S^2 \Longrightarrow S\le \sqrt{45(2-(x^2+y^2))}\quad (*) $
$x^2+y^2=(1-2y)^2+y^2=5y^2-4y+1=\dfrac{1}{5}(5y-2)^2+\dfrac{1}{5}\ge\dfrac{1}{5} \Longrightarrow 2-(x^2+y^2)\le \dfrac{9}{5}$
$(*) \Longrightarrow S\le \sqrt{45\cdot\dfrac{9}{5}} \Longrightarrow S\le 9$
$x=\dfrac{1}{5}$ , $y=\dfrac{2}{5}$ iken eşitlik sağlanır.