Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2013 Soru 24

[Lokman Gökçe]

$|AB|=|AC|$ olan bir ikizkenar $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstündeki bir $D$ noktasından $AB$ ve $AC$ doğrularına inen dikme ayakları sırasıyla, $E$ ve $F$ olmak üzere, $|DE|=3$, $|DF|=12$ ve $|AF|=21$ ise, $|BC|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 18
\qquad\textbf{b)}\ 3\sqrt{30}
\qquad\textbf{c)}\ 16
\qquad\textbf{d)}\ 5\sqrt{10}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)
Yanıt: $\boxed{D}$

Pisagordan $|AF|^2+|FD|^2=|DE|^2+|EA|^2$ dir. Buradan $|EA|^2=21^2+12^2-3^2=576$ ve $|EA|=24$ bulunur. $ABC$ üçgeni ikizkenar olduğundan taban açıları eşittir bu yüzden $BED$ ve $CFD$ üçgenleri benzerdir. $|ED|=3$ ve $|DF|=12$ olduğu için $|BE|=x$ ise $|FC|=4x$ tir. $|AB|=|AC|$ idi. O zaman $24+x=21+4x$ tir yani $x=1$ dir. Yine pisagordan $|BD|=\sqrt{10}$ ve $|DC|=4\sqrt{10}$  bulunur. Ve $|BC|=5\sqrt{10}$ dur.