Gönderen Konu: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1972 Soru 3  (Okunma sayısı 1048 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1408
  • Karma: +12/-0
Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1972 Soru 3
« : Haziran 05, 2014, 01:33:00 ös »
Negatif olmayan her $m$ ve $n$ tam sayıları için,
$$\dfrac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!}$$ kesrinin bir tam sayıya eşit olduğunu gösteriniz. ($0!=1$.)

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 235
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1972 Soru 3
« Yanıtla #1 : Ağustos 17, 2019, 04:37:56 ös »
$[$ $]$ sembolü tam kısım sembolü olmak üzere 

Her $x,y$ reel sayıları için $[2x]+[2y] \ge [\text{x}]+[y]+[x+y]$  olduğunu gösterelim.

$x=[\text{x}]+r$ , $y=[y]+s$ ,     $0\le r,s \le 1$ olacak şekilde $r,s\in R$ sayıları vardır.  $[\text{x}]=a$ ,$[y]=b$ alalım.

$$[2x]+[2y]=2a+2b+[2r]+[2s]$$

$$[x+y]=a+b+[r+s]$$

üstteki iki özellik ispatı istenen eşitsizliğe yazılırsa $[2r]+[2s]\ge [\text{r}]+[\text{s}]+[r+s]$ olduğunu göstermek gerekir. $[\text{r}]=0$ ve $[\text{s}]=0$ olduğunu kullarak ve genelliği bozmadan $r\le s$ alırsak  $ [\text{r}]+[\text{s}]+[r+s]=[r+s]\le [s+s]=[2s]\le [2r]+[2s]$   olduğundan ispat biter.

bizden istenen sayı varsayalım ki tam sayı olsun. O halde en az bir asal böleni vardır. Asal bölenleri sayısına $k$ deresek  asal bölenleri $1\le i \le k$ ,  $p_i$ olarak düşünülebilinir.
O halde bu asal sayının paydaki en büyük kuvveti $e$ paydadaki en büyük kuvveti $f$ olsun.  O halde sayının çarpanlarından biri $p_i^{e-f}$ olur. 

$${\overset{}{\underset{k\ge 1}{{\displaystyle\sum}}}([\dfrac{2m}{p_i^k}]+[\dfrac{2n}{p_i^k}]-[\dfrac{m}{p_i^k}]-[\dfrac{n}{p^k}])}$$ bu ifadeye verdiğimiz eşitsizliği uygularsak $e-f\ge 0$ elde edilir. Burada $p_i$ nin kuvveti hiçbir zaman negatif olmayacağından dolayı ispat tamamlanır.
 
« Son Düzenleme: Ağustos 17, 2019, 11:36:05 ös Gönderen: AtakanCİCEK »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Manisa Özel Türk Koleji Fen Lisesi

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal