Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2013 Soru 02

[Lokman Gökçe]

$20x^3-13y^3=2013$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,y)$ pozitif tamsayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 1
\qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt $\boxed {E}$

Denklemi $\mod 13$ te inceleyelim: $7x^3 \equiv 11 \pmod{13} $ olup bu denkliğin her iki tarafını $2$ ile genişletirsek $x^3 \equiv 9 \pmod{13}$ olur. Halbuki her $x$ tam sayısı için $x \equiv 0, \pm 1 , \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6 \pmod{13}$ olup $x^3 \equiv 0,1,5,8 \pmod{13}$  dir, çelişki! Dolayısıyla verilen denklemin tam sayılarda çözümü yoktur.

[Egemen]

(Egemen Erbayat)

Cevap:$\boxed {E}$

$\mod 7$'de bakalım. $x^3 \equiv 0,1,-1 \pmod{7}$ $20x^3-13y^3 \equiv 6x^3-6y^3 \equiv 4\pmod{7}$
$6x^3-6y^3 \equiv y^3-x^3 \pmod{7}$
$y^3=1$; $x^3=1$, $x^3=0$, $x^3=-1$ için denklik sağlanmaz.
$y^3=0$; $x^3=1$, $x^3=0$, $x^3=-1$ için denklik sağlanmaz.
$y^3=-1$; $x^3=1$, $x^3=0$, $x^3=-1$ için denklik sağlanmaz.