Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1968 Soru 2

[ERhan ERdoğan]

Ondalık yazımındaki rakamların çarpımı, $x^2-10x-22$ ye eşit olan tüm $x$ doğal sayılarını bulunuz.

[AtakanCİCEK]

Kaba bir ispatla sayının $2$ veya $3$ basamaklı olduğunu gösterelim.

Varsayalım ki $x$ sayısı $n$ basamaklı olsun.

$x^2\ge 10^{2n-2}$ olduğundan $2n-1$ basamaklı en küçük sayıdır ve diğer $2$ terim negatif olduğu için basamaklar çarpımının minimum değeri $x^2-10x-22 > 10^{2n-3}$

Sayının basamaklar çarpımının maximum değeri ise $n$  tane $10$ çarpılmış olsaydı bile $10^n$ olurdu.

Basamaklar çarpımının maximum değeri minimum değerinden büyük veya tek değer alabiliyorsa eşit olacağından dolayı $10^n > 10^{2n-3}$  yani $n < 3$ bulunur. 

$x$ tek basamaklı ise $x=x^2-10x-22$  olacağından dolayı $\bigtriangleup$ tamkare olmadığından çözüm gelmez.

$x$ iki basamaklı ise $x=ab$  alalım.  $a.b=(10a+b)^2-10.(10a+b)-22$
 
$a\ge 2$ için  $b$  rakam olmak üzere

$$100a^2+19ab+b^2-100a-10b-22>0$$

olduğundan denklemin çözümü yoktur. $a=1$ olmalıdır.

$b^2+9b-22=0$  bulunur. Çözülürse $b=2$  bulunur. $x=12$  sağlar. 

[Abdullah demircan]

Alternatif çözüm.

Verilen ifadenin sırasıyla $2,3,5,7$'ye bölünebilirliği incelendiğinde sadece 2'ye bölünebileceği görülür. o zaman sayi sadece $2,4,8$ ve $1$'den oluşabilir. $Mod 4$ incelendiğinde $4$'e bölünemeyeceği görülür. O halde sadece $1$ tane $2$ var yani rakamları çarpımı $2$'ye eşit. O halde verilen ifade de $2$'ye eşittir. $x=12 $ bulunur.