Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 30

[Lokman Gökçe]

Tam olarak $19$ tane pozitif tam sayı böleni olan bir tam sayının $11$ ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisi olamaz?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ 9
$

[ERhan ERdoğan]

Yanıt: $\boxed{D}$

$p$ asal sayı olmak üzere, sayımız $p^{18}$ biçimindedir. $(p,11)=1$ için $p^{10} \equiv 1 \pmod{11}$ dir.Buna göre, $p^{18}=(p^{10})^2\cdot p^{-2} \equiv \dfrac{1}{p^2} \pmod{11}$ dir.
$p \equiv \pm1 \pmod{11} \Rightarrow \dfrac{1}{p^2} \equiv 1 \pmod{11}$
$p \equiv \pm2 \pmod{11} \Rightarrow \dfrac{1}{p^2} \equiv 3 \pmod{11}$
$p \equiv \pm3 \pmod{11} \Rightarrow \dfrac{1}{p^2} \equiv 5 \pmod{11}$
$p \equiv \pm4 \pmod{11} \Rightarrow \dfrac{1}{p^2} \equiv 9 \pmod{11}$
$p \equiv \pm5 \pmod{11} \Rightarrow \dfrac{1}{p^2} \equiv 4 \pmod{11}$