Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 15

[Lokman Gökçe]

Toplamları $n$ ve kareleri toplamı $n+19$ olan iki gerçel sayı bulunmasını sağlayan en büyük $n$ pozitif tam sayısı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 7
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

[ERhan ERdoğan]

Yanıt: $\boxed{B}$

$a,b \in \mathbb{R} ,a+b=n$ ve $a^2+b^2=n+19$ alalım.
Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden, $(a+b)^2 \leq 2(a^2+b^2) \Rightarrow n^2 \leq 2n+38 \Rightarrow n^2-2n \leq 38$ eşitsizliğini sağlayan en büyük $n$ pozitif tam sayısı $7$ dir.