Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 12

[Lokman Gökçe]

Altı tane $1$ ve beş tane $2$ rakamı kullanılarak yazılan $11$ basamaklı pozitif tam sayılardan kaç tanesinin herhangi ardışık beş basamağında en az üç tane $1$ vardır?

$
\textbf{a)}\ 18
\qquad\textbf{b)}\ 16
\qquad\textbf{c)}\ 14
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ 10
$

[Egemen]

(Egemen Erbayat)

Cevap:$\boxed E$

Sayımız $a_1a_2\ldots a_{11}$ olsun.
$a_1a_2\ldots a_5$'te en az 3 tane bir vardır. $a_6a_7\ldots a_{10}$'da en az 3 tane 1 olmalıdır. $a_1a_2\ldots a_{10}$'da en az 6 tane bir vardır. Elimizde de 6 tane bir olduğu için, $a_1a_2\ldots a_{10}$ 6 tane 1 içerdiğini ve $a_{11}=2$ olduğunu söyleyebiliriz.

$a_1a_2\ldots a_{10}$'da 6 tane 1 var ise $a_1a_2\ldots a_5$'te 3, $a_6a_7\ldots a_{10}$'da 3 tanedir.

$ a_{11}=2$ $a_7\ldots a_{10}$'da 3 tane 1 içerir
$ a_6=2$, $a_1=2$'dir

Her beşlide 2 tane 2 olmalıdır.

$a_1,a_6,a_{11}=2$ olduğu için $a_2\ldots a_5$'te 1 $a_7\ldots a_{10}$'te 1 tane 2 vardır.
$a_1,a_6,a_{11}$ sayılarını diziden atalım.
Kalanların 2'si $2$ 6'sı $1$'dir.
Kalan sayılar $b_1\ldots b_8$ olsun. b_n=2 ise $b_{n+1}=b_{n+2}=b_{n+3} \not=2$ olmalıdır.

$a_2\ldots a_5=2111 \Rightarrow$$a_7\ldots a_{10}=2111,1211,1121,1112$ olabilir.
$a_2\ldots a_5=1211 \Rightarrow$$a_7\ldots a_{10}=1211,1121,1112$ olabilir.
$a_2\ldots a_5=1121 \Rightarrow$$a_7\ldots a_{10}=1121,1112$ olabilir.
$a_2\ldots a_5=1112 \Rightarrow$$a_7\ldots a_{10}=1112$ olabilir.
10 sayı vardır.