Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 30

[ERhan ERdoğan]

Bir $n$ pozitif tam sayısı için, $s(n)$ ile $n$ sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını göstermek üzere; $2014^{2014}$ sayısını bölen tüm $k$ pozitif tam sayıları için $\left (s(k) \right )^3$ sayılarının toplamının en büyük asal böleni nedir?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 7
\qquad\textbf{c)}\ 11
\qquad\textbf{d)}\ 13
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Eray]

(Eray ATAY)

Yanıt: $\boxed{E}$

$2014=2\cdot 19 \cdot 53$ olduğundan $2014^{2014}=2^{2014}\cdot 19^{2014}\cdot 53^{2014}$ tür.
$2014^{2014}$ sayısının bir pozitif böleni $k=2^{a_1} \cdot 19^{a_2} \cdot 53^{a_3}$ olsun. $(s(k))^3=(a_1+1)^3\cdot (a_2+1)^3 \cdot (a_3+1)^3$ dir.
Bize sorulan, mümkün olan tüm $(a_1+1)^3\cdot(a_2+1)^3\cdot(a_3+1)^3$ sayılarının toplamıdır. Bu toplam şöyle ifade edilebilir,
$\sum (s(k))^3= \sum \limits_{a_1=0}^{2014} \sum \limits_{a_2=0}^{2014} \sum \limits_{a_3=0}^{2014} (a_1 + 1)^3 (a_2 + 1)^3(a_3 +1)^3$

$= \sum \limits_{a_1 = 0}^{2014} (a_1 + 1)^3 \cdot \sum \limits_{a_2 = 0}^{2014} (a_2+1)^3 \cdot \sum \limits_{a_3 = 0}^{2014} (a_3 +1)^3$

$=(1^3 + 2^3 + \cdots + 2015^3)\cdot(1^3 + 2^3 + \cdots + 2015^3)\cdot(1^3 + 2^3 + \cdots + 2015^3)$

$=(1^3 + 2^3 + \cdots + 2015^3)^3 = \left ( \left (\dfrac{2015 \cdot 2016}{2} \right )^2 \right)^3 = (2015 \cdot 1008)^6 = (5 \cdot 13 \cdot 31)^6 \cdot (2^4 \cdot 3^2 \cdot 7)^6 = 2^{24} \cdot 3^{12} \cdot 5^6 \cdot 7^6 \cdot 13^6 \cdot 31^6$ sayısının en büyük asal çarpanı $31$'dir.