Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 22

[ERhan ERdoğan]

$2014^{2015}$ sayısının $121$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 45
\qquad\textbf{b)}\ 34
\qquad\textbf{c)}\ 23
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ 1
$

[ozlemmogol]

Yanıt: $\boxed{B}$

$(2014)^{2015} = (2013 + 1)^{2015} = \dbinom{2015}{0}2013^{2015} + \cdots + \dbinom{2015}{2013}2013^{2} + \dbinom{2015}{2014}2013 + \dbinom{2015}{2015}$

$11 \mid 2013$ olduğu için yukarıdaki açılımdaki ilk $2014$ terim $121$ ile bölünecektir.
$(2014)^{2015} \equiv 2015 \cdot 2013 + 1 \equiv (2013+2)2013 + 1 \equiv 4027 \equiv 34 \pmod{121}$