Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 16

[ERhan ERdoğan]

Aslı $100$ şekeri kardeşi ve kardeşinin $18$ arkadaşı arasında dağıtacaktır. Bunun için, kardeşinin arkadaşlarını bir kaç gruba ayırıyor ve $100$ şekeri bu gruplara dağıtıyor. Sonra her gruptaki çocuklar, kendilerine verilen şekerleri aralarında her biri eşit ve olabildiğince çok sayıda şeker alacak biçimde paylaşıp, kalan şekerleri de Aslı'nın kardeşine veriyorlar. Aslı'nın kardeşi en çok kaç şeker alabilir?

$
\textbf{a)}\ 12
\qquad\textbf{b)}\ 14
\qquad\textbf{c)}\ 16
\qquad\textbf{d)}\ 17
\qquad\textbf{e)}\ 18
$

[Egemen]

Yanıt: $\boxed{C}$

Grup sayısı $n$; $x_1, x_2, \cdots, x_n$ de grupların içerdiği çocuk sayısı olsun. $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 18$ dir.
Her $i=1,\dots, n$ için, $i.$ grupta $x_i$ çocuk olduğu için, artan şeker sayısı en çok $x_i - 1$ olur.

$k(n)$ ile Aslı'nın kardeşinin $n$ gruptan alabileceği en büyük şeker sayısını gösterelim.

$k(n) \leq x_1 - 1 + x_2 - 1 + \cdots + x_n - 1 = 18-n$ olacaktır.

Sırayla, deneyelim.

$n=1$ için $k(1) \leq 17$ olmasına rağmen, $100$ şeker $18$ çocuğa dağıtıldığında, her biri $5$ şeker alacak. $k(1)=100-18\cdot 5 = 10$ dur.

$n=2$ için $k(2) \leq 16$ olacaktır. $x_1 = 8$ ve $x_2=10$ aldığımızda, $1.$ gruba $31$, $2.$ gruba $69$ şeker dağıtılırsa, $k(2)=7+9=16$ olacak şekilde bir dağıtımın mümkün olduğu görülebilir.