Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 10

[ERhan ERdoğan]

$m^3-n^3=9^k+123$ eşitliğini sağlayan kaç $(m,n,k)$ negatif olmayan tam sayı üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[osman211]

bu soruda   sağ tarafın pozitif olduğu cok acık bu yüzden 

m=n+a seklinde bi m sayisi bulabilirz burdan yerine yazarak


3an²+3a²n+a³=3^2k+123  seklinde yazarsak


dikkat edilirse sağ taraf 3 ile bolunebiliyor solunda bolunmesi gerekir   


3 I a³  olmalı   burdan  a=3t yazabilirz denklemde yazarsak

 9tn²+27t²n+27t³=9^k+123 olur

sol taraf 9 ile bolunurken sağ taraf bolunmez bundan dolayı     sağ taraftaki  9^k=1 olursa denklem sağlanır   

k=0 bulunur burdan   

5³-1=124    olcağından sağlayan tek değer   (5,1,0) üçlüsü

[ERhan ERdoğan]

Yanıt: $\boxed{A}$

$k>0$ için $9^k \equiv 0 \pmod{9}$ olduğundan $m^3-n^3 \equiv 6 \pmod{9}$ olur. Ancak iki küp farkı $9$ modunda $0$, $1$, $2$, $7$, $8$ değerlerini alabileceğinden $k>0$ için çözüm yoktur.

$k=0$ için $m^3-n^3=124 \Rightarrow (m-n) \left [ (m-n)^2+3mn) \right]=124$  ifadesinde çarpanları muhtemel değerler için denersek sadece $m=5 , n=1$ değerleri için sağlandığını görebiliriz.

O halde tek çözüm $(5,1,0)$ üçlüsüdür.