Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 09

[ERhan ERdoğan]

$D$, bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstünde $|AB|=3, |CD|=1$ ve $|AC|=|BD|=\sqrt{5}$ koşullarını sağlayan bir nokta olmak üzere; $B$ köşesine ait yükseklik $AD$ doğrusunu $E$ noktasında kesiyor ise, $|CE|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{2}{\sqrt{5}}
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{2}{\sqrt{3}}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{\sqrt{5}}{2}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{3}{2}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

$AB^2 - AC^2 = 9-5=4=5-1=BD^2-CD^2$ olduğu için, $AD \perp BC$ dir. Ayrıca, $AD=2$ dir.

Bu durumda, $E$ noktası, $\triangle ABC$ nin diklik merkezidir. Basit açı hesabıyla, $\angle BAD = 90^\circ - \angle ABC = \angle BCE$ elde edilir.
$\cos \angle DAB = \dfrac 23 = \cos \angle DCE = \dfrac 1{EC} \Rightarrow EC = \dfrac 32$ elde edilir.