Tübitak Lise 1. Aşama 2006 Soru 11

[geo]

$4x^4 - 3x^2 + 7x - 3 = 0$ denkleminin farklı gerçel köklerinin toplamı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ -1
\qquad\textbf{b)}\ -2
\qquad\textbf{c)}\ -3
\qquad\textbf{d)}\ -4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

$4x^4-3x^2+7x-3=(4x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$ şeklinde çarpanlara ayrıldığını varsayarak $a,b,c,d$ tam sayılarını bulmayı deneyelim. Polinomların eşitliğinden

$$4c+a=0$$
$$4d+b+ac=-3 $$
$$ad+bc=7$$
$$bd=-3$$

İlk denklemden $a=-4c$ dir. Bunu üçüncü denklemde yazarsak $c(b-4d)=7$ olur. $c|7$ dir. $c=1$ için denklemler incelenirse çözüm gelmediği görülür. $c=-1$ için incelenirse $a=4,b=-3,d=1$ elde edilir. Bu durumda

$$4x^4-3x^2+7x-3=(4x^2+4x-3)(x^2-x+1)$$

şeklinde çarpanlara ayrılır. $x^2-x+1=0$ denkleminin diskriminantı negatif olduğundan reel çözümü yoktur. $4x^2+4x-3 = 0$ denkleminin diskriminantı pozitiftir ve $x_1,x_2$ şeklinde iki farklı kökü vardır. Vieta formülünden $x_1+x_2=-1$ dir.