Tübitak Lise 1. Aşama 2006 Soru 10

[geo]

$5^n$ nin $\dfrac{2006!}{(1003!)^2}$ sayısını bölmesini sağlayan en büyük $n$ tam sayısı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 500
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

De Polignac formülüne göre $2006!$ içindeki $5$ çarpanlarının sayısı

$\left \lfloor \dfrac{2006}{5} \right \rfloor + \left \lfloor \dfrac {2006}{25} \right \rfloor +  \left \lfloor \dfrac {2006}{125} \right \rfloor +  \left \lfloor \dfrac {2006}{625} \right \rfloor = 401 + 80 + 16 + 3 = 500 $ olur.

$1003!$ içindeki $5$ çarpanlarının sayısı

$\left \lfloor \dfrac{1003}{5} \right \rfloor + \left \lfloor \dfrac {1003}{25} \right \rfloor +  \left \lfloor \dfrac {1003}{125} \right \rfloor +  \left \lfloor \dfrac {1003}{625} \right \rfloor = 200 + 40 + 8 + 1 = 249 $ olur.

O halde aranan en büyük $n$ tam sayısı $n = 500-249-249=2$ dir.