Tübitak Lise 1. Aşama 2006 Soru 26

[ERhan ERdoğan]

Kaç $p$ asal sayısı için, $m^3+3m-2 \equiv 0 \pmod{p}$ ve $m^2+4m+5 \equiv 0 \pmod{p}$  koşullarını sağlayan bir $m$ tam sayısı bulunur?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap:$\boxed{B}$

Öncelikle $p=2$ için $m\equiv 1\pmod{2}$'nin istenilen denklikleri sağladığını görelim. Diğer $p$'leri bulmak için $p\neq 2$ kabul edelim. $$m^3+3m-2-m(m^2+4m+5)\equiv -4m^2-2m-2\equiv 0\pmod{p}\implies 2m^2+m+1\equiv 0\pmod{p}$$ $$2(m^2+4m+5)-(2m^2+m+1)\equiv 7m+9\equiv 0\pmod{p}$$ $p=7$ olursa $9\equiv 0\pmod{7}$ olur ki bu da çelişkidir. Dolayısıyla $m\equiv -9\cdot 7^{-1}\pmod{p}$'dir. ($7^{-1}$ sayısı $7$'nin $p$ modundaki tersidir.) Buradan da $$m^2+4m+5\equiv 81\cdot \left(7^{-1}\right)^2-36\cdot 7^{-1}+5\equiv 0\pmod{p}\implies 81-36\cdot 7+5\cdot 7^2\equiv 74\equiv 0\pmod{p}$$ $74=2\cdot 37$ ve $p\neq 2$ olduğundan $p=37$ olmalıdır. $m\equiv -9\cdot 7^{-1}\equiv 4\pmod{37}$ istenilen denklikleri sağlar. $p=2$ ve $37$ olmak üzere iki tane çözüm vardır.