Tübitak Lise 1. Aşama 2006 Soru 08

[geo]

$d_1$ ve $d_2$ bir düzlem üzerinde birbirine paralel iki farklı doğru olmak üzere, $d_1$ üstünde $11$ siyah nokta, $d_2$ üstünde de $16$ beyaz nokta işaretleniyor. Siyah ve beyaz noktaları birleştiren doğru parçalarının, $d_1$ ve $d_2$ doğruları arasındaki şeridin iç bölgesinde bulunan kesişim noktalarının sayısı en çok kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 5600
\qquad\textbf{b)}\ 5650
\qquad\textbf{c)}\ 6500
\qquad\textbf{d)}\ 6560
\qquad\textbf{e)}\ 6600
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

$d_1$ üstünden alınan temsilci iki nokta $A,B$; $d_2$ üstünden alınan temsilci iki nokta $C, D$ olsun. $A,B,C,D$ noktalarının saatin dönme yönünde sıralanmış olduğunu varsayalım. Bu noktalar ikişerli olarak birleştirilirse, $ \{DA, CB \}$ ikilisinin kesişiminden bir $Y$ noktası elde edilir. Ancak bu nokta şerit bölgenin dışındadır. $ \{AC, BD \}$ ikilisinin kesişiminden bir $X$ noktası elde edilir. Bu nokta şerit bölgenin içinde yer alır. Dolayısıyla $A,B,C,D$ gibi seçilen her $4$ noktadan en fazla $1$ tane $X$ noktası elde edilebilir. Bu $A,B,C,D$  noktalarının seçim sayısı $\binom{16}{2}\binom{11}{2}=120\cdot 55 = 6600$ bulunur.