Tübitak Lise 1. Aşama 2006 Soru 29

[ERhan ERdoğan]

Bir $ABC$ üçgeninde içteğet çemberinin merkezi $I; [BC]$ ye değen dış teğet çemberinin merkezi $J$ olmak üzere, $m( \widehat{B}) = 45^\circ , m(\widehat{A}) = 120^\circ$ ve $|IJ| = \sqrt{3}$ ise, $|BC|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{3}{2}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{3}{4}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{\sqrt{6}}{2}
\qquad\textbf{e)}\ \sqrt{3}-1
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$\angle IBJ = \angle ICJ = 90^\circ$ ve $\angle BJC = 90^\circ - \frac{\angle BAC}2 = 30^\circ$ dir.

$IBJC$ kirişler dörtgeninin çevrel merkezi $M$, $IJ$ nin orta noktasıdır ve $\angle BMC = 2\cdot \angle BJC = 60^\circ$ dir. $\triangle BMC$ eşkenar üçgen olup $BC=BM=\dfrac {IJ}2 = \dfrac{\sqrt 3}{2}$ dir.

NOT:

Genel olarak Sinüs teoreminden $\dfrac{BC}{\sin \angle BJC} = IJ \Rightarrow BC = IJ \cdot \sin (90^\circ - \angle A/2) = IJ \cdot \cos (\angle A /2)$ elde edilir.