Tübitak Lise 1. Aşama 2006 Soru 33

[ERhan ERdoğan]

Bir dışbükey $ABCD$ dörtgeninde $m(\widehat{ABD})=40^\circ , m(\widehat{DBC})=70^\circ ,m(\widehat{BDA})=80^\circ$ ve $m(\widehat{BDC})=50^\circ$ ise $m(\widehat{CAD})$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 25^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 30^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 35^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 38^\circ
\qquad\textbf{e)}\ 40^\circ
$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Yanıt:$\boxed{B}$

$[AB$ ve $[AC$ yi uzatalım ve bu ışınların üzerinde $|AB|$ ve $|AC|$ doğru parçaları üzerinde olmayacak şekilde sırasıyla $E$ ve $F$ noktaları alalım. O zaman $\angle EBD=\angle CBD=70^\circ$ ve $\angle BDC=\angle CDF=50^\circ$ olur. Yani $|BC|$ ve $|DC|$ dış açıortaydır. İki dış ve bir iç açıortay noktadaş olduğu için $|AC|$ de $\angle BAD$ nin açıortayıdır. O zaman $\angle CAD=\dfrac{\angle BAD}{2}=30^\circ$  dir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{B}$

Kirişler dörtgeni oluşturmaya çalışacağız.$ABP=50^{\circ}$ olacak şekilde $DC$ üzerinde $P$ noktası alınsın. Buna göre $ABPD$ kirişler dörtgenidir. Dolayısıyla $\angle BDP=50^{\circ}, \angle DAP=10^{\circ},\angle APB=80^{\circ}$ elde edilir. Ayrıca $\triangle BPC$ eşkenar, $\triangle APB$ ise ikizkenardır. Dolayısıyla $BC=BP=PC=AP$ belirlenir. Buna göre $\triangle APC$ de ikizkenardır. $\angle APC=140^{\circ}$ olduğundan $\angle CAP=20^{\circ}\Longleftrightarrow \boxed{\angle CAD=30^{\circ}}$ bulunur.