Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 05

[ERhan ERdoğan]

$O$ merkezli $AB$ çaplı yarım çember üstünde $C$ ve $D$ noktaları, $ABCD$ bir dışbükey dörtgen olacak biçimde alınıyor. $[AC]$ ve $[BD]$ köşegenlerinin kesişim noktası $Q$, yarım çembere $C$ ve $D$ noktalarında teğet olan doğruların kesişim noktası $P$ olmak üzere, $m(\widehat{AQB}) = 2m(\widehat{COD})$ ve $|AB| = 2$ ise, $|PO|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \sqrt{2}
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{3}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{2\sqrt{3}}{3}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed {E}$

$m(\widehat{COD})=\alpha$ dersek $m(\widehat{COD})=2\alpha$ olur. Çemberde iç açı özelliğinden $2\alpha = \dfrac{180^\circ + \alpha}{2}$ olup $\alpha = 60^\circ $ elde edilir. $|OC|=|OD|=1$ dir. $[OC] \perp [PC]$,  $[OD] \perp [PD]$ olduğundan $m(\widehat{COP})=m(\widehat{DOP})=30^\circ$ dir. $PDO$ dik üçgeninden $|PO|=\dfrac{2 \sqrt3}{3}$ elde edilir.