Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 08

[ERhan ERdoğan]

$123456789$ sayısı ile başlanarak, her adımda, her ikisi de sıfırdan farklı bitişik iki rakamın değerleri birer azaltılarak yerleri kendi aralarında değiştiriliyor. Sonlu sayıda adım sonucunda elde edilebilecek en küçük sayının rakamları toplamı nedir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 9
$

[Lokman Gökçe]

Değişmez (invariant) kavramı ile ilgili bir problem,

Yanıt: $\boxed {D}$

$9$ basamaklı sayının soldan sağa doğru $n$ inci basamağındaki sayı $a_n$ olsun. $a_n$ ile $a_{n+1}$ in pariteleri farklıdır. Yani bunlardan biri tek sayı iken diğeri çift sayıdır. Bitişik rakamların değerlerini birer azaltıp yerlerini kendi aralarında değiştirme işlemi sonucunda $n$ inci sayının paritesi değişmez. Örneğin $a_n$ tek sayı iken $a_{n+1}$ çift sayıdır ve bu rakamların yeri değiştirilince $\dots (a_{n})(a_{n+1}) \dots$ sıralaması yerine $\dots (a_{n+1}-1)(a_n-1) \dots$ gelir. $n$ inci basamakta $a_{n+1}-1$ tek sayısı, $n+1$ inci basamakta $a_n-1$ çift sayısı bulunur. Sonuç olarak elde edilebilecek en küçük sayı $101010101$ dir. (Bu sayıyı veren hamleleri yazmak kolaydır) Dolayısıyla $101010101$ sayısının rakamları toplamı $5$ olarak bulunur.