Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 10

[ERhan ERdoğan]

Bir tam sayının karesinin iki katına ve bir tam sayının küpünün üç katına eşit olup, $10^6$ dan küçük olan kaç pozitif tam sayı vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed {D}$

$n=2x^2=3y^3$ ve $n<10^6$ dır. $2|y^3$ ve $3|x^3$ olup $y=2a$, $x=3b$ yazılabilir. Buradan $3b^2=4a^3$ olur. Benzer muhakeme ile $b=2c$, $a=3d$ dir. $c^2=9d^3$ olup $c=3e$ dir. Buradan $e^2=d^3$ olur ve $e$ bir tam küp, $d$ bir tam kare olmalıdır. $e=m^3$ dersek $d=m^2$ dir. $c=3m^3$, $b=6m^3$, $a=3m^2$, $x=18m^3$, $y=6m^2$ dir. $n=2x^2=648m^6$ dır. O halde $648m^6 < 10^6$ eşitsizliğini sağlayan $m$ pozitif tam sayılarını belirleyelim. $\dfrac{1000000}{648}=1543,2 \dots$ olduğundan $m^6 \leq 1543$ tür. $3^6=729$, $4^6=4096$ olduğundan $m \in \{1,2,3\}$ olup $3$ değer bulunur.