Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 13

[ERhan ERdoğan]

Bir $ABCD$ teğetler dörtgeninde $m(\widehat{A})=m(\widehat{B})=120^\circ , m(\widehat{C})=30^\circ$ ve $|BC|=2$ ise, $|AD|$ nedir?


$
\textbf{a)}\ \sqrt{3}-1
\qquad\textbf{b)}\ 2-\sqrt{3}
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt{6}-\sqrt{2}
\qquad\textbf{d)}\ 2-\sqrt{2}
\qquad\textbf{e)}\ 3-\sqrt{3}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

$AD$ ile $BC$ nin kesişim noktası $E$ olsun. $ABE$ eşkenar üçgen olduğundan $|AB|=|BE|=|AE|=2x$ diyelim. $CDE$ dik üçgeninin kenarları arasında $1: \sqrt3 : 2$ orantısı olduğundan $|ED|=1+x$, $|CD|=\sqrt3 + \sqrt3 x$, $|AD|=1-x$ dir. $ABCD$ teğetler dörtgeninde $|AB|+|CD|=|AD|+|BC|$ olduğundan $2x +\sqrt3 + \sqrt3 x = 2 + (1-x)$ denklemi elde edilir. Buradan $x= \dfrac{3 - \sqrt3 }{3 + \sqrt3} $ olarak çözülür. $|AD|=1-x=1-\dfrac{3 - \sqrt3 }{3 + \sqrt3} = \sqrt3 - 1$ bulunur.