Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 14

[ERhan ERdoğan]

$3^n$ nin, $(100^2-99^2)(99^2-98^2)\cdots(3^2-2^2)(2^2-1^2)$ çarpımını bölmesini sağlayan en büyük $n$ tam sayısı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 49
\qquad\textbf{b)}\ 53
\qquad\textbf{c)}\ 97
\qquad\textbf{d)}\ 103
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Yanıt:$\boxed{A}$

İfadeye $T$ deyip düzenleyelim:

$T=199.197.195. ....... .7.5.3 = \dfrac{199!}{198.196.194. ...... .6.4.2}=\dfrac{199!}{2^{99}.(99!)}$

$2^{99}$ da hiç $3$ böleni olmadığından $\dfrac{199!}{99!}$ deki $3$ böleninin sayısına bakmamız yeterli.

$\dfrac{199}{3}=66, ...$  ,    $\dfrac{66}{3}=22$ ,   $\dfrac{22}{3}=7, ...$ ,   $\dfrac{7}{3}=2, ...$   ; $\Longrightarrow 66+22+7+2=97$  tane $3$ böleni var. (payda)

$\dfrac{99}{3}=33$ ,  $\dfrac{33}{3}=11$   ,   $\dfrac{11}{3}=3, ...$  , $\dfrac{3}{3}=1$  ;  $\Longrightarrow 33+11+3+1=48$  tane $3$ böleni var. (paydada)

O zaman cevap $97-48=49$  dur.