Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 16

[ERhan ERdoğan]

$x, y, z \leq 9$ pozitif tam sayılar olmak üzere, her $(x, y, z)$ üçlüsü için, bu sayılardan en büyüğü ile en küçüğünün toplamına bu üçlünün gücü diyoruz. Bu tür tüm $(x, y, z)$ üçlülerinin güçlerinin toplamı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 9000
\qquad\textbf{b)}\ 8460
\qquad\textbf{c)}\ 7290
\qquad\textbf{d)}\ 6150
\qquad\textbf{e)}\ 6000
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$
Simetri fikrinden faydalanmak çözümü kolaylaştıracaktır. Her $(x,y,z)$ üçlüsüne karşılık bir $(10-x,10-y,10-z)$ üçlüsü karşılık getirilebilir. Örneğin $x \leq y \leq z $ sıralaması olsun. $x \leq y \leq z \Longleftrightarrow  10-x \geq 10-y \geq 10-z  $ olduğundan $(x,y,z)$ ve $(10-x,10-y,10-z)$ üçlülerinin güçlerinin toplamı sabit olarak $x+z+(10-x)+(10-z)=20$ dir. Tüm $(x,y,z)$ üçlülerinin sayısı $9^3$ olduğundan tüm üçlülerin güçlerinin toplamı $\dfrac{1}{2}\cdot 9^3 \cdot 20 = 7290$