Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 17

[ERhan ERdoğan]

$m(\widehat{A})>m(\widehat{B})$ olan bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberine $C$ noktasında teğet olan doğru ile $AB$ doğrusunun kesişimi $K$ noktasıdır.
$L , [BC]$ kenarı üstünde bir nokta olmak üzere, $m(\widehat{ALB})=m(\widehat{CAK}),5|LC|=4|BL|$ ve $|KC|=12$ ise, $|AK|$ nedir?


$
\textbf{a)}\ 4\sqrt{2}
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 8
\qquad\textbf{d)}\ 9
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

Aynı yayı gören çevre açı ve teğet kiriş açıların eşitliğinden $m(\widehat{KCA})= m(\widehat{CBA})$ dır. Dolayısıyla $m(\widehat{CKA})= m(\widehat{LAB})$ olup $ KC \parallel AL $ dir. $ \dfrac{KA}{AB}= \dfrac{CL}{LB}= \dfrac{4}{5} $ dir. Buna göre $|KA|=4x, |AB|=5x$ diyebiliriz. $K$ noktasının çembere göre kuvvetini yazarsak $|KC|^2 = |KA|\cdot |KB|$ eşitliğinden $12^2 = 4x \cdot 9x$ olur. Buradan $x=2$, $|AK|=4x=8$ dir.