Tübitak Lise 1. Aşama 2005 Soru 31

[geo]

$a, b, c, d$ gerçel sayılar ve $f(x) = x^2 + ax + b$, $g(x) = x^2 + cx + d$ olmak üzere, $$\begin{array}{rcl}
f(x) + g(x) &=& 0 \\
f(x) - (g(x))^3 &=& 0
\end{array}$$ denklem sisteminin birden çok gerçel kökü varsa, $f(x)g(x) = 0$ denkleminin en çok kaç farklı gerçel kökü olabilir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Verilen eşitlikleri birbirinden çıkartalım. $$\left(g(x)\right)^3+g(x)=g(x)\left((g(x))^2+1\right)=0$$ denkleminin de birden fazla çözümü olmalıdır. $(g(x))^2+1\neq 0$ olduğundan verilen denklem sisteminin çözümleri $g(x)=0$'ın da çözümleridir. $g$, ikinci dereceden bir polinom olduğundan en fazla $2$ kökü vardır. Denklem sisteminin kökleri aynı zamanda $g$'nin de kökleri olduğundan sistemin de tam olarak iki kökü vardır. İlk denklemden bu iki kökün aynı zamanda $f$'in de kökleri olduğunu anlarız. Buradan $f$ ve $g$'nin ikişer kökleri olduğunu ve aynı polinom olduklarını anlarız. Dolayısıyla $f(x)g(x)=(g(x))^2=0$ denkleminin de $2$ tane kökü vardır.