Tübitak Lise 1. Aşama 2005 Soru 26

[geo]

Her $n$ pozitif tam sayısı için, $f(2n+1) = 2f(2n)$, $f(2n) = f(2n-1)+1$ ve $f(1) = 0$ ise, $f(2005)$ sayısının $5$ e bölümünde elde edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Tek sayılar arasında bir örüntü yakalamaya çalışalım. $$f(2n+1)=2f(2n)=2f(2n-1)+2$$ olduğundan $f(2n-1)=a_n$ ve $f(1)=a_1=0$ indirgemeli dizisini tanımlayabiliriz. $$a_{n+1}=2a_n+2$$ olacaktır. $2$'yi yok etmek için $$a_{n+1}-2a_n=a_n-2a_{n-1}\implies a_{n+1}-3a_n+2a_{n-1}=0$$ kuralını kullanalım. Bu dizinin karakteristik denklemi $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ olacağından dizinin elemanları $$a_n=A\cdot 1^n+B\cdot 2^n=A+B2^n$$ formatındadır. $a_2=2$ olduğundan $n=1$ ve $n=2$ için $$A+2B=0$$ $$A+4B=2$$ denklemleri elde edilir. Çözülürse $B=1$, $A=-2$ bulunur. Yani $a_n=2^n-2$ formatındadır. $$f(2005)=a_{1003}=2^{1003}-2$$ bulunur. $2^4\equiv 1\pmod{5}$ olduğundan $$2^{1003}-2\equiv 2^3-2\equiv 6\equiv 1\pmod{5}$$ bulunur.