Tübitak Lise 1. Aşama 2005 Soru 21

[geo]

Kenar uzunluğu $1$ olan $ABCD$ karesinin merkezinden, $A$ köşesinden ve $[BC]$ kenarının orta noktasından geçen çemberin yarıçapı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac {\sqrt 3}4
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac {\sqrt 5}4
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt 2
\qquad\textbf{d)}\ \sqrt 3
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac {\sqrt {10}}4
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Karenin merkezine $O$, $[BC]$'nin orta noktasına $E$ diyelim. Yarıçapı istenilen çember, $AOE$'nin çevrel çemberidir. $m(\widehat{AOE})=135^\circ $ olduğunu görmek zor değildir. Ayrıca $ABE$ üçgeninde Pisagor teoremi uygularsak $|AE|=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ bulunur. Sinüs teoreminden, istenilen yarıçapa $r$ dersek, $$\dfrac{|AE|}{\sin{(\widehat{AOE})}}=2r\implies r=\dfrac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$$ bulunur.