Tübitak Lise 1. Aşama 2005 Soru 19

[geo]

$x^3 - x^2 - x -  \frac 13 = 0$ denkleminin en büyük gerçel kökü nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{\sqrt 3 - \sqrt 2}{2}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}{2}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{\sqrt[3]{3}-1}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{\sqrt[3]{4}-1}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Öncelikle $x\neq 0$ olduğunu görelim ve $x=\dfrac{1}{t}$ yazalım. Denklem $$\dfrac{3-3t-3t^2-t^3}{3t^3}=0\implies t^3+3t^2+3t-3=0$$ halini alır. Her tarafa $4$ eklersek $$(t+1)^3=4\implies t+1=\sqrt[3]{4}\implies t=\sqrt[3]{4}-1$$ bulunur. Dolayısıyla $x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}-1}$ olacaktır. Tek gerçel kök bu olduğundan en büyük kök de budur.