Cevap: $\boxed{C}$
Eğer verilen polinom $121$'e bölünüyorsa $11$'e de bölünür. Yani $x^5+5x^2+x+1\equiv 0\pmod{11}$ olacaktır. $x\equiv 0\pmod{11}$ olamayacağı görülebilir. Dolayısıyla $$x^{10}\equiv (x^5)^2\equiv 1\pmod{11}\implies x^5\equiv \pm 1\pmod{11}$$ olacaktır.
Eğer $x^5\equiv -1\pmod{11}$ ise $$x^5+5x^2+x+1\equiv 5x^2+x=x(5x+1)\equiv 0\pmod{11}\implies 5x+1\equiv 0\pmod{11}\implies x\equiv 2\pmod{11}$$ olur ve $x^5\equiv -1\pmod{11}$ sağlanır. $121$ modunda $x=11k+2$ yazarsak $$x^5\equiv (11k+2)^5\equiv \sum_{i=0}^5 \dbinom{5}{k}(11k)^i\cdot 2^{5-i}\equiv 32+16\cdot 55k\equiv 32+880k\equiv 33k+32\pmod{121}$$ olduğunu kullanırsak $$x^5+5x^2+x+1\equiv 33k+32+5(11k+2)^2+(11k+2)+1\equiv 264k+55\equiv 22k+55\equiv 0\pmod{121}$$ $$\implies 2k+5\equiv 0\pmod{11} \implies k\equiv 3\pmod{11}$$ Eğer $k=11n+3$ yazarsak $x=11(11n+3)+2=121n+35$ olur. $0\leq x<121$ olduğundan $\boxed{x=35}$ olmalıdır.
$x^5\equiv 1\pmod{11}$ ise $$x^5+5x^2+x+1\equiv 5x^2+x+2\equiv 0\pmod{11}$$ denersek $x\equiv -3$ istenileni sağlar. Denklem ikinci dereceden olduğundan en fazla iki tane kök olabilir. İkinci kökü bulmak için Vieta teoremini kullanabiliriz. Diğer kök $t$ olsun. Başkatsayıyı $1$ yapmak için $9$ ile çarpalım. $$9(5x^2+x+2)\equiv 45x^2+9x+18\equiv x^2+9x+7\equiv 0\pmod{11}$$ ve Vieta teoreminden $$-3+t\equiv -9\pmod{11}\implies t\equiv 5\pmod{11}$$ bulunur. Denersek denkliği sağladığını görebiliriz. Ancak $x\equiv -3\pmod{11}$ için $x^5\equiv 1$ sağlanmamaktadır. Dolayısıyla $x\equiv 5\pmod{11}$ olmalıdır. Eğer $x=11k+5$ yazarsak $$x^5\equiv (11k+5)^5\equiv \sum_{i=0}^5 \dbinom{5}{k}(11k)^i\cdot 5^{5-i}\equiv 5^5+5^5(11k)\equiv 100+11k\pmod{121}$$ olur ve $$x^5+5x^2+x+1\equiv (11k+100)+5(11k+5)^2+(11k+5)+1\equiv 572k+231\equiv 88k-11\equiv 0\pmod{121}$$ $$\implies 8k\equiv 1\pmod{11}\implies k\equiv 7\pmod{11}$$ olur. Dolayısıyla $k=11n+7$ yazabiliriz. Yerine yazarsak $x=11(11n+7)+5=121n+82$ olur ve $\boxed{x=82}$ bulunur.
Toplamda $2$ çözüm vardır.
Not: $x$'in $11$ modundaki değerlerini bulduktan sonra $121$ moduna yükseltme işleminde birer çözüm çıkacağını görmek için yukarıdaki tüm adımları yapmaya gerek yoktur.
