Tübitak Lise 1. Aşama 2005 Soru 07

[geo]

$x$, $y$, $z$ gerçel sayılar olmak üzere, $\sin x \cos y + \sin y \cos z + \sin z \cos x$ ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ \sqrt 2
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac 32
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac {\sqrt 3}2
\qquad\textbf{d)}\ 2
\qquad\textbf{e)}\ 3
$

[Kerem123]

$f$($x$) =$\sin$$x$$\cos$$x$ dersek ve Türev alırsak $\cos$$x$$\cos$$y$ $-$$\sin$$x$$\sin$$y$=0 elde edilir. Benzer şekilde,
$\cos$$(x+y)$=$0$ => $x$+$y$=90 olur aynı şey $y$+$z$ ve $x$+$z$ içinde geçerli yani $x$+$y$+$z$=135 ve $y$+$z$=90 olduğundan $x$=$y$=$z$=$45$ bulunur. Bu durum da $f$($x$) =$\sin$$45$$\cos$$45$=$1/2$ olur. O halde soruda ki ifade $3$($1/2$) =$3/2$ elde edilir. Ayrıca $\sin$ ve $\cos$ değerlerinin eşit olduğu 3. Bölgede de $x$=$y$=$z$=$225$için ifade yine $3/2$ olur

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

Her $a, b$ gerçel sayısı için doğru olan $ab \leq \dfrac{1}{2}(a^2 + b^2)$ eşitsizliğinden
$$\sin x \cos y + \sin y \cos z + \sin z \cos x \leq \dfrac{1}{2}(\sin^2 x + \cos^2y + \sin^2 y + \cos^2 z + \sin^2 z + \cos^2 x)= \dfrac{1}{2}(1+1+1)=\dfrac{3}{2}$$
bulunur. Eşitlik durumu $x=y=z=45^\circ$ iken elde edilebilir.