Tübitak Lise 1. Aşama 2005 Soru 03

[geo]

$x^3 - 6x^2 + 5 = 0$ denkleminin en büyük ve en küçük gerçel köklerinin arasındaki fark $F$ ise, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$
\textbf{a)}\ 0 \leq F < 2
\qquad\textbf{b)}\ 2 \leq F < 4
\qquad\textbf{c)}\ 4 \leq F < 6
\qquad\textbf{d)}\ 6 \leq F < 8
\qquad\textbf{e)}\ 0 \leq F
$

[t-temiz]

Yanıt: $\boxed{D}$

$x=1$ denklemin bir köküdür. Dolayısıyla $f(x)=x^3-6x^2+5=(x-1).(x^2+ax+b)$ olacak şekilde $a$ ve $b$ tam sayıları vardır. Polinom eşitliği ya da polinom bölmesiyle $f(x)=x^3-6x^2+5=(x-1).(x^2-5x-5)$ olduğu görülebilir. Buradan en büyük kök $\frac{5+3\sqrt5}{2}$ ve en küçük kök $\frac{5-3\sqrt5}{2}$ olur. Aralarındaki fark ise $F=3\sqrt5$ olur.