Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 17

[geo]

Kenar uzunluğu $6$ olan bir $ABCD$ karesinin $[BC]$ ve $[CD]$ kenarları üzerinde, $|CR| + |RT| + |TC| = 12$ olacak biçimde sırasıyla $R$ ve $T$ noktaları alınıyor. $\tan(\widehat{RAT})$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 2\sqrt 3
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt 3
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac 13
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 12
\qquad\textbf{e)}\ 1
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

$TR$ üzerinde $DT = TH$ olacak şekilde bir $H$ noktası alalım. $DT+TC=HT+TC=6=BC=BR+RC=RH+RC$ olduğu için $HR=BR$ dir.
$AT^2 = AD^2 + DT^2$ ve $AR^2 = AB^2 + BR^2$ olduğu için $AT^2 - AR^2 = DT^2 - BR^2 = TH^2 - RH^2$, yani $AH \perp TR$ olacaktır.
Bu durumda, $\angle DAT = \angle HAT$ ve $\angle HAR = \angle BAR$, yani $\angle RAT = 45^\circ$, $\tan \angle RAT = 1$ olacaktır.