Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 14

[geo]

$i, o, p, t, y \in \{0, 1, 2, \dots , 9\}$ olmak üzere, $top^2 = iyitop$ ise, $y - i$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[taftazani44]

Biraz kaba bir çözüm oldu ama:(

[taftazani44]

(top)² işleminde sonuçta birler basamağı aynı p oluyor
Buda
1²=1
5²=25
6²=36

[ArtOfMathSolving]

Sayın Hocam Bir daha özür diliyorum . İlk dediğinizde anladım ne demek istediğinizi, İletimde anlamadım yazmaktaki amacım , daha önce fark edememiştim şimdi fark ettim anlamındaydı.Değerli vaktinizi çaldığım için tekrar özür diliyorum.

[taftazani44]

Rica ederim.ben özür dilerim.

[geo]

Yanıt: $\boxed C$

$\left ( \overline{top} \right )^2 = \overline{iyi000} + \overline{top}$

$\left ( \overline{top} \right )^2 - \overline{top} = \overline{iyi000} \equiv 0 \pmod {1000}$

$\overline{top} \equiv x \pmod {1000}$ olsun.

$x^2 - x \equiv 0 \pmod {1000}$ olması için $x(x-1) \equiv 0 \pmod 8$ ve $x(x-1) \equiv 0 \pmod {125}$ olması gerekir.

$x \equiv 0,1 \pmod 8$ ve $x \equiv 0, 1 \pmod {125}$ denklem sisteminden $4$ çözüm gelir.

$x = 8k = 125m \Rightarrow x \equiv 0 \pmod {1000}$

$x = 8k+1 = 12m + 1 \Rightarrow x \equiv 1 \pmod {1000}$

$x = 8k + 1 = 125m \Rightarrow 1 \equiv 125m \equiv 5m \pmod 8 \Rightarrow m \equiv 5 \pmod 8$ $\Rightarrow x \equiv 125(8n + 5) \equiv 625 \pmod {1000}$

$x = 8k = 125m + 1 \Rightarrow -1 \equiv 125m \equiv 5m \pmod 8 \Rightarrow m \equiv -5 \equiv 3 \pmod 8$ $\Rightarrow x \equiv 125(8n+3) + 1 \equiv 376 \pmod {100}$

$\overline{top} = 625 \Rightarrow 625^2 = 390625 \neq \overline{iyi625}$ sağlamaz.

$\overline{top} = 376 \Rightarrow 376^2 = 141376 \Rightarrow i = 1, y = 4$ ve $y-i = 4-1 = 3$ sağlar.

$\overline{top} = \overline{000}$ ve $\overline{top} = \overline{001}$ sayılarının karesinin aldığımızda $6$ basamaklı sayılar oluşmaz.

O halde yanıt: $\boxed D$

Not: Soruda $\overline{top}$'un $3$ basamaklı $\overline{iyitop}$'un da $6$ basamaklı sayılar olduğu daha açık bir şekilde belirtilmeliydi.
Aksi durumda sorudaki gösterim $t\cdot o \cdot p^2 = i \cdot y \cdot i \cdot t \cdot o \cdot p$ şeklinde de yorumlanabilirdi.
Ayrıca $\overline{000}^2 = \overline{000000}$ da bir açıdan bakıldığında denklemi sağlar. Bunun için $6$ basamaklı sayı vurgusu buradaki belirsizliği ortadan kaldırabilir.