Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 30

[ERhan ERdoğan]

Her $n\geq1$ için $a_{n+48} \equiv a_{n} \pmod{35}$ koşulunun sağlandığı bir $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ tamsayı dizisinde $i$ ve $j$ sırasıyla, her $n\geq1$ için, $a_{n+i} \equiv a_{n} \pmod{5}$ ve $a_{n+j} \equiv a_{n} \pmod{7}$ bağıntılarını sağlayan en küçük pozitif tamsayılarsa, $(i,j)$ ikilisi aşağıdakilerden hangisi olamaz?

$
\textbf{a)}\ (16,4)
\qquad\textbf{b)}\ (3,16)
\qquad\textbf{c)}\ (8,6)
\qquad\textbf{d)}\ (1,48)
\qquad\textbf{e)}\ (16,18)
$

[Lokman Gökçe]

Periyod kavramı ile ilgili bir problem,

Yanıt: $\boxed{E}$

$a_{n+48} \equiv a_n \pmod{35}$ olduğundan $a_{n+48} \equiv a_n \pmod{5}$ ve $a_{n+48} \equiv a_n \pmod{7}$ yazabiliriz. Bu denkliklere göre $a_n$ dizisinin $\mod 5$ ve $\mod 7$ deki bir periyodu $48$ dir. Üstelik $a_n$ nin aynı modlardaki en küçük periyodu sırasıyla $i$ ve $j$ dir. Dolayısıyla $i|48$ ve $j|48$ olmalıdır. $j=18$ için $j|48$ sağlanmadığından $(i,j) \neq (16,18)$ dir.